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贝尔特拉米说:“我们需要开始正视一个重要问题。”

贝尔特拉米对自己的学生开始解释,拉普拉斯算子可以推广为定义在曲面。学生津津有味的听着,觉得这是非欧几何学中必然要经历的最重要的一步,让贝尔特拉米算子在曲面中计算。

贝尔特拉米解释道体积形式的时候,学生意识到不对劲。

“我一直听到体积形式这样的东西,我认为你在强调它,你是不是需要解释一下。”学生明显的感受到贝尔特拉米那种不可思议的气氛,总觉得需要细细的去推敲这个意思。

贝尔特拉米对学生说:“对于不同的坐标,我们当然认为对体积的定义是十分重要的。”

学生说:“要是这样的话,我何尝不知道,但你不仅仅是这个意思。貌似有一个可怕的念头从我脑中闪过!”

贝尔特拉米想逗逗这个学生:“我讲的也算简单了吧,你还不懂什么?”

“在推广到高维的体积中,是不是我们需要注意一些更重要的东西。这就是你提到的体积的形式,你还用强调的语气提到了这个,不仅仅是曲面几何的问题。这里面有一个更重要的意思。”

学生说话有点久到了语无伦次的样子。

贝尔特拉米也觉得已经吊足胃口,该是给学生好好解释一个问题了。

“好的,你跟其他学生不同,你很不俗。”说罢,贝尔特拉米开始在黑板上写东西。

学生一开,贝尔特拉米画了杨辉三角的图。

然后贝尔特拉米对学生说:“你知道四维空间的单形应该是什么样子了吧。”

学生说:“根据三维空间里的四面体,我知道你想说的是,有五个点,10条线,10个面。”

贝尔特拉米兴奋道:“然后呢?”

学生说:“你的意思是有5个体?”

“然后往下说。”

学生感觉这个突破了自己的三观,就说:“这个现实生活中没有把,我们叫什么名字,叫它有一个超体积?一种四维形式的体积?”

贝尔特拉米说:“这是一个比体积还有体积的高维的东西,而且随着维度的增加,这些超级形的体积都会出现的。”

学生说:“因为他们在数学中存在,只是人类无法感知到而已。”

“没错。”

“那我们如何应对这个东西,如果是超体积,假如是四维体积,边都相互垂直,边长是a、b、c、d,那么体积就是abcd这么大对吧!”

“太对了,你已经学会了。”

“可是这个意义在哪里?这只是一个超体积而已,我们都感知不到它们是存在的。很多数学家会不小心把它们落下。”

“可是数学上存在的,就是存在的。这个以后一定会有用途,毕竟高维推广到了很多系统的研究上,难免会有超体分析这样的课题存在。你要善于去找和挖掘这样的用途才对。”

学生笑着说:“那这个的罪过,是来源帕斯卡三角这个自然而然的奇怪东西。”

贝尔特拉米严肃到:“不要小看这种数学上的自然而然,这个很重要。”

在微分几何中,拉普拉斯算子可以推广为定义在曲面,或更一般地黎曼流形与伪黎曼流形上,函数的算子。这个更一般的算子叫做拉普拉斯-贝尔特拉米算子(Laplace–beltrami operator)。

与拉普拉斯算子一样,拉普拉斯–贝尔特拉米算子定义为梯度的散度。

这个算子作为共变导数的散度,可以延拓到张量上的算子。

或者,利用散度与外导数,这个算子可以推广到微分形式上的算子,所得的算子称为拉普拉斯-德拉姆算子(Laplace–de Rham operator)。

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