数学家开始研究波动方程。
在声学，电磁学和流体力学中会应用到。
一般研究常见的一维弦振动u-a^2u=f(x，t)。
三维的波动方程u-a^2uΔu=f(x，y，z，t)。
达朗贝尔找到了齐次波动方程的形式。
也知道其微分变化形式和初始值都是很重要的。
然后就该需要知道它的解，应该是什么样子了。
通过方程可以模拟声波，电磁波以及水波传播情况，有重要物理意义。
柯西知道很多微分方程或者是偏微分方程往往是很难找到解法的，但是柯西认为只要有正确的办法也可以轻松找到。
因为这些方程本来就是波动方程，所以可以把波动方程描述出来，就可以找到这个看此困难的解法。
给定一个初始条件后，用特征线性法导出达朗贝尔公式。
然后转化成一阶偏微分线性方程组，而这就是柯西的拿手绝活了。
法国大革命期间，柯西不太平，总有麻烦缠身。
拿破仑三世问柯西：“我听说你不愿意效忠前一任的国王，连我这一任的也不给面子。这是为什么？因为你是效忠波旁王朝吗？”
柯西说：“以前我确实效忠波旁王朝，但是现在不一样了，我只是认为学术要自由，不能受到政府干涉。”
拿破仑三世说：“这是为什么？效忠只是个仪式而已，你为什么这么在意。”
柯西说：“这不是简单的仪式。要知道大学是一个知识的地带，大家要寻求真理。如果有了政府官员的干涉，那不利于探寻真理，那就没有一个可以改造人灵魂的地方了。”
拿破仑三世说：“我发誓，绝对不会干涉大家去寻找真理。”
柯西说：“你想想看，如果我像任何一个王朝效忠。而法国此刻的环境是每隔一段时间就会换一个王朝，那是不是下一个王朝就会秋后算账？如果我像路易菲力效忠，那你们不会找我算账吗？如果你们要是被推翻，我要效忠你，我不也被下一个王朝给收拾了？连命都没了，还哪有时间做学问？”
拿破仑三世听了觉得有理，就免除了柯西和另一个物理学家的效忠仪式。
而柯西依旧没有忘了自己的数学研究。
他在研究成齐次波动方程之后，开始考虑非齐次波动方程了。
非齐次波动方程，仅仅是在齐次波动方程后加了一个函数。
分成两个问题解决：
第一个是求其中齐次的部分，这个泊松公式可以解出。
第二个需要满足一种齐次的条件。
所以可以使用齐次化求解。