由于泊松得知了火山运动前会有磁场的变化，而这个磁场的变化发生次数不多。
泊松认为：“这种不同于地球磁场的火山磁场变换，如果发生的足够的少，就不会有火山运动，如果超过了某个次数的话，那就很可能会有异常的火山运动了。”
狄利克雷说：“你说的这个足够少有多少，足够多有多多？”
泊松认为：“足够少的意思是不可能不发生，只是不要为这样的次数而大惊小怪。但是超过这样的次数了，那么火车就危险了。”
狄利克雷说：“你有办法能找到火山磁场异常数字吗？”
泊松在考虑一种数学分布，对狄利克雷说：“你见过一种方差和期望相同的分布吗？”
狄利克雷愣住了，想了很长时间。
泊松说：“我正在考虑一种特殊的分布，适合描述单位时间内随机事件发生的次数，这个随机时间发生的概率很低，但是存在。”
狄利克雷问道：“这是从哪里推出来的？”
泊松说：“我是从二项式分布得出的，其中重复n次的伯努利，把n看出无穷大。同时发生概率p非常小。然后看单位时间发生λ次的样子，其中的k是实际的数字。”
泊松写出了泊松公式p=(x=k)=λ^k*e^(-λ)\/k!。
狄利克雷才知道这是根据二项式对n做无穷推导出来的。
狄利克雷说：“其中的方差和期望都等于λ吗？”
泊松说：“是的。”
1837年，泊松出版了《关于判断的概率之研究》（Recherches sur la probabilité des jugements）。在书中他确立了概率的法则，给出了“泊松大数定律”，并且对于二项分布一种限制情形的离散随机变量描述了“泊松分布”。
在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布p(λ)。因此，泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性。