晚宴结束后，庞学林按照约定，直接去了张一唐居住的酒店房间。
“庞教授，来了，快请进！”
张一唐将庞学林迎了进来。
张一唐住的是一个行政套房，有专门的会客室。
两人来到会客室，张一唐先去泡了两杯咖啡，然后才捧着一堆稿纸走了过来。
“庞教授，这是我过去半年关于庞氏几何理论的一些想法，你先帮我看看，其中有没有什么错漏！”
“好！”
庞学林接过稿纸，翻阅起来。
会客室内陷入了沉寂之中。
时间一分一秒过去，一直到半小时后，庞学林才抬起头，问道：“张教授，你准备用庞氏几何的方法去证明孪生素数猜想？”
张一唐点头道：“正常情况下，一个重大命题的突破，一般都会诞生全新的数学工具。但是我当年证明弱化版孪生素数猜想的时候，采用的是比较传统的数学方法，但证明两个孪生素数之间的差值小于七千万后，我就感觉传统方法走到了极限。再往下，恐怕必须要用一些全新的数学工具了！”
“这些年来，我一直在尝试建立一个这样一个数学工具，只是如今年纪大了，思维和精力也比不上以前。直到去年下半年，你那篇关于庞氏几何的论文横空出世，我才隐隐感觉到，庞氏几何，就是解决孪生素数猜想的关键钥匙！”
庞学林点了点头。
庞氏几何解释了有理数的绝对伽罗华群，以至任意代数簇的平展基本群，会如何影响相应代数结构的性质。
这一理论从本质上阐明了加法结构和乘法结构的性质，在数论与代数几何之间，架起了桥梁。
对于涉及数论领域的诸多猜想，如哥德巴赫猜想、ABC猜想、孪生素数猜想、冰雹猜想等，都有着非常重大的意义。
张一唐想要通过庞氏几何的相关理论去解决孪生素数猜想问题，庞学林并不意外。
所谓孪生素数猜想，就是指存在无穷多个素数p，使得p+2是素数。素数对（p，p+2）称为孪生素数。
这个猜想源自希尔伯特23问中的第八个问题，由希尔伯特1900年在国际数学家大会上提出。
但一百多年过去了，这个猜想依旧困扰着全球的数学家。
迄今为止，在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。
第一类是所谓的非估算性结果，这方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润利用大筛法所取得的。
陈景润证明了：存在无穷多个素数p，使得p+2要么是素数，要么是两个素数的乘积。
这个结果与他关于哥德巴赫猜想的结果很类似。
目前一般认为，由于筛法本身的局限性，这一结果在筛法范围内很难被超越。
第二类则是估算性结果，张一唐所取得的成果就属于这一类。
这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，用数学语言表达，便是：Δ:=limn→∞inf[(pn+1-pn)ln(pn)]。
翻译成白话文，这个表达式所定义的是两个相邻素数之间的间隔，与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。
很显然，孪生素数猜想如果成立，那么Δ必须等于0。
因为孪生素数猜想表明pn+1-pn=2对无穷多个n成立，而ln(pn)→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合(从而对于整个素数集合也)趋于零。
不过要注意，Δ=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充份条件。
换句话说，如果能证明Δ≠0，则孪生素数猜想就不成立；但证明Δ=0却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。
国际上对Δ的进一步估算始于哈代和李特尔伍德。
一九二六年，他们运用圆法证明了假如广义黎曼猜想成立，则Δ≤23。
这一结果后来被被兰金改进为Δ≤35。
但这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义黎曼猜想，因此只能算是有条件的结果。
一九四零年，鲍尔·爱迪斯利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：Δ1。
此后里奇于一九五五年，波比利和德文堡于一九六六年，Huxley于一九七七年，分别把这一结果推进到Δ≤1516，Δ≤(2+√3)8≈0.4665及Δ≤0.4425。
在张一唐之前，这一方法最好的结果是迈尔在一九八六年取得的Δ≤0.2486。
而张一唐，则将这一结果大大往前推进了一步。
但即便如此，张一唐之前的工作，距离最终证明孪生素数猜想，依旧有着很远的距离。
“庞教授，我手稿上的写的这些东西，你觉得思路上存在什么问题或者瑕疵吗？”
张一唐问道。
庞学林摇了摇头，说道：“不好说，我对孪生素数猜想研究不多，您提出的这个思路，我觉得可以尝试一下，但具体能不能成功，我也不敢保证。”
张一唐笑道：“只要整体思路上没问题就好。”
张一唐犹豫了片刻道：“庞教授，我有个不情之请，不知道你愿不愿意答应？”
庞学林微微一楞，点头道：“您说！”
张一唐道：“庞教授，我今年已经六十六了，说实话，这个年纪，主要工作已经放在了帮助培养一下年轻一代的数学家上，想要在学术道路上再往上走一走，难度很大。但我不甘心，我这辈子浪费了太多时间了，我依旧希望能在学术道路上往上走一走。所以我想请你帮个忙，未来两年内，你能不能把主要精力放在攻克孪生素数猜想上，老头子我想和你来一场学术竞赛。你如果能加入进来，我反而更有动力了！到时候不管是你，还是我自己证明了这一猜想，都算了却了我心中最大的愿望！如果两年后，我们都没出成果，那这个约定就自动取消！”
庞学林笑了起来，说道：“张教授，我答应你！”
不管是出于对这位大器晚成，壮心不已的数学家的尊重，还是出于对这一困扰人类一百二十年的猜想的兴趣，庞学林都不会拒绝。